Loi binomiale et échantillonnage

Loi binomiale et échantillonnage

Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in[0;1]$ est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec ($1-p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes.

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions. Alors $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ et :

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k\in\{0,\dots,n\}$

où $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Espérance, variance, écart-type

$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

Exemple. Un QCM de 20 questions à 4 choix, réponses au hasard : $X\sim\mathcal{B}(20;0{,}25)$. Alors $E(X)=5$ et $\sigma(X)=\sqrt{20\times 0{,}25\times 0{,}75}\approx 1{,}94$.

Coefficient binomial : propriétés utiles

• $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$
• $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (symétrie)
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$
• $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$

Calculs pratiques à la calculatrice

• $P(X=k)$ : binomFdp(n, p, k)
• $P(X\leq k)$ : binomFRep(n, p, k)
• $P(a\leq X\leq b) = P(X\leq b)-P(X\leq a-1)$

Intervalle de fluctuation asymptotique (niveau 95 %)

Pour $n$ assez grand ($n\geq 30$, $np\geq 5$, $n(1-p)\geq 5$) :

$I = \left[p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$

Si la fréquence observée $f$ tombe hors de $I$, on rejette l'hypothèse « proportion = $p$ » au risque 5 %.

Exemple. Sondage : $n=1000$, $p=0{,}5$. $I=[0{,}469\,;\,0{,}531]$. Si on observe $f=0{,}55$, on rejette.

Loi des grands nombres (rappel)

$\dfrac{X}{n}$ (fréquence de succès) converge en probabilité vers $p$ : la fluctuation d'échantillonnage diminue en $1/\sqrt{n}$.

Points-clés

• $X\sim\mathcal{B}(n,p) \Rightarrow P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
• $E=np$, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
• L'écart-type décroît en $\sqrt{n}$ : doubler la précision demande de quadrupler l'effectif.