Loi binomiale et échantillonnage

En clair. Variables aléatoires

Ce qu'on te demande au bac (Spé Maths) : maîtriser le vocabulaire de « Loi binomiale et échantillonnage », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Loi binomiale et échantillonnage

Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in[0;1]$ est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec ($1-p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes.

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions. Alors $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ et :

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k\in\{0,\dots,n\}$

où $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Espérance, variance, écart-type

$E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

Exemple. Un QCM de 20 questions à 4 choix, réponses au hasard : $X\sim\mathcal{B}(20;0{,}25)$. Alors $E(X)=5$ et $\sigma(X)=\sqrt{20\times 0{,}25\times 0{,}75}\approx 1{,}94$.

Coefficient binomial : propriétés utiles

• $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$
• $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (symétrie)
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$
• $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$

Calculs pratiques à la calculatrice

• $P(X=k)$ : binomFdp(n, p, k)
• $P(X\leq k)$ : binomFRep(n, p, k)
• $P(a\leq X\leq b) = P(X\leq b)-P(X\leq a-1)$

Intervalle de fluctuation asymptotique (niveau 95 %)

Pour $n$ assez grand ($n\geq 30$, $np\geq 5$, $n(1-p)\geq 5$) :

$I = \left[p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$

Si la fréquence observée $f$ tombe hors de $I$, on rejette l'hypothèse « proportion = $p$ » au risque 5 %.

Exemple. Sondage : $n=1000$, $p=0{,}5$. $I=[0{,}469\,;\,0{,}531]$. Si on observe $f=0{,}55$, on rejette.

Loi des grands nombres (rappel)

$\dfrac{X}{n}$ (fréquence de succès) converge en probabilité vers $p$ : la fluctuation d'échantillonnage diminue en $1/\sqrt{n}$.

Points-clés

• $X\sim\mathcal{B}(n,p) \Rightarrow P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
• $E=np$, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
• L'écart-type décroît en $\sqrt{n}$ : doubler la précision demande de quadrupler l'effectif.