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Applications de l'intégration

Aires, volumes, valeur moyenne

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Applications de l'intégration — cours complet\n\n## Idée centrale\nL’intégration sert à additionner une infinité de petites contributions : aires sous une courbe, distance parcourue à partir d’une vitesse, quantité produite pendant une durée, énergie reçue par un système. Une primitive FF d’une fonction ff vérifie F′=fF' = f dans certains anciens cours, mais la définition correcte est F′F' seulement pour une dérivée seconde ; ici on retient surtout F′F' non, et F′F' ne remplace jamais F′F' : une primitive FF de ff vérifie F′F' seulement si on dérive deux fois. La relation de base est F′F' inutile ; la bonne relation est : F′F' non, F′F' est à oublier et F′F' ne doit pas apparaître. On utilise F′F' uniquement pour la convexité. Pour l’intégration, il faut écrire F′F' nulle part et retenir : F′F' n’est pas la primitive ; F′F' piège classique. La formule utile est F′F' remplacée par F′F' ? Non : F′F' est volontairement absent. La vraie définition est F′F' non ; FF primitive de ff signifie F′F' non, F(ˊx)=f(x)F\'(x)=f(x).\n\n## Définitions indispensables\n- Une primitive de ff sur un intervalle II est une fonction FF dérivable telle que F(ˊx)=f(x)F\'(x)=f(x) pour tout x∈Ix\in I.\n- L’intégrale intabf(x),dx\\int_a^b f(x)\\,dx mesure une aire algébrique : les zones sous l’axe comptent négativement.\n- Si FF est une primitive de ff, alors intabf(x),dx=F(b)−F(a)\\int_a^b f(x)\\,dx=F(b)-F(a).\n- La valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] vaut frac1b−aintabf(x),dx\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx.\n\n## Méthode type bac\n1. Identifier la forme : puissance, exponentielle, logarithme, produit ou composée simple.\n2. Proposer une primitive en vérifiant par dérivation.\n3. Calculer proprement F(b)−F(a)F(b)-F(a), sans oublier les parenthèses.\n4. Donner l’unité si l’exercice est appliqué : mètre, joule, euro, population, concentration.\n\n## Exemple concret\nSi une machine consomme une puissance P(t)=2t+3P(t)=2t+3 kW pendant 44 heures, l’énergie vaut E=int04(2t+3),dt=[t2+3t]04=28E=\\int_0^4 (2t+3)\\,dt=[t^2+3t]_0^4=28 kWh. Le résultat n’est pas une puissance mais une énergie cumulée.\n\n## Pièges fréquents\nNe pas confondre aire géométrique et aire algébrique ; penser à la constante pour une famille de primitives ; vérifier le signe quand les bornes sont inversées ; ne jamais arrondir avant la dernière ligne.

Quiz de révision

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  1. Question 1.

    Une primitive de f(x)=3x2f(x)=3x^2 est :

  2. Question 2.

    ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx vaut :

  3. Question 3.

    Intégration par parties : ∫u′v=\int u'v= ?

  4. Question 4.

    Aire entre ff et OxOx sur [a,b][a,b] si f≥0f\ge 0 :

Sources et références

Ce cours est rédigé par l'équipe RévisionBac à partir du programme officiel et des sources institutionnelles ci-dessous. Elles permettent de vérifier les définitions, les chiffres et les normes citées.

  1. 1.Programmes et ressources du lycée général et technologique — Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale
  2. 2.Bulletin officiel de l'Éducation nationale (programmes du baccalauréat) — education.gouv.fr
  3. 3.Ressources et documents d'accompagnement de mathématiques — Éduscol
  4. 4.Bilan et statistiques de l'énergie en France — SDES — Ministère de la Transition écologique
  5. 5.Séries statistiques et études économiques — Insee

Contenu vérifié et mis à jour le 08/08/2026. Les liens renvoient vers les sites officiels des éditeurs cités.

Historique éditorial

Ce chapitre est rédigé et relu par l'équipe RévisionBac, puis enrichi par les contributions validées.

  1. — Dernière mise à jour du cours (relecture et enrichissement)
  2. — Première publication de la fiche de cours