Matrices et systèmes linéaires

En clair. Calcul, inversion

Ce qu'on te demande au bac (Option Maths Expertes) : maîtriser le vocabulaire de « Matrices et systèmes linéaires », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Matrices et systèmes linéaires — cours complet\n\n## Représenter avant de calculer\nEn géométrie, trigonométrie, nombres complexes ou matrices, le premier réflexe est de représenter la situation : repère, figure, graphe, tableau de coordonnées ou schéma de transformation. Une bonne représentation évite la plupart des erreurs de signe et de sens.\n\n## Outils essentiels\n- Dans l’espace, un vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.\n- Le produit scalaire vérifie $\\vec u\\cdot\\vec v=xx'+yy'+zz'=\\|\\vec u\\|\\,\\|\\vec v\\|\\cos\\theta$. Il sert à tester l’orthogonalité.\n- Une droite peut se décrire par une représentation paramétrique ; un plan par une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.\n- En trigonométrie, le cercle unité donne les signes, les valeurs remarquables et les périodicités.\n- Avec les complexes, $z=a+ib$ code un point ou un vecteur ; le module $|z|$ donne une distance et l’argument donne un angle.\n\n## Méthode type bac\n1. Nommer les objets : points, vecteurs, droite, plan, transformation.\n2. Choisir un critère : colinéarité, orthogonalité, appartenance, distance, angle, intersection.\n3. Écrire les coordonnées puis effectuer les calculs de manière lisible.\n4. Conclure en français : “les droites sont sécantes”, “le point appartient au plan”, “les vecteurs sont orthogonaux”.\n\n## Exemple concret\nPour vérifier si deux directions sont perpendiculaires, on calcule le produit scalaire. Si $\\vec u=(2,-1,3)$ et $\\vec v=(1,5,1)$, alors $\\vec u\\cdot\\vec v=2-5+3=0$ : les directions sont orthogonales. Cette vérification est utilisée en architecture, en robotique et en modélisation 3D.\n\n## Points de vigilance\nNe pas confondre coordonnées d’un point et coordonnées d’un vecteur ; vérifier les paramètres ; utiliser les parenthèses dans les produits scalaires ; justifier une conclusion géométrique par un calcul ou un théorème clairement identifié.