Asservissement et régulation

Asservissement et régulation

Définitions clés

• Asservissement : système bouclé qui suit une consigne variable (ex. asservissement de position d'un bras robot).
• Régulation : système bouclé qui maintient une grandeur constante malgré les perturbations (ex. régulation de température d'un four).
• Boucle fermée (BF) : la sortie est mesurée et renvoyée à l'entrée pour être comparée à la consigne. L'écart $\varepsilon(t) = c(t) - m(t)$ pilote le correcteur.

Schéma-bloc canonique

c(p) → [+/−] → ε(p) → [C(p)] → [G(p)] → s(p)
                 ↑                        │
                 └────── [H(p)] ──────────┘

• $C(p)$ : correcteur (souvent PID).
• $G(p)$ : fonction de transfert du procédé.
• $H(p)$ : capteur (souvent $H(p)=1$ pour un retour unitaire).

Fonction de transfert en boucle fermée : $\text{FTBF}(p) = \dfrac{C(p)G(p)}{1 + C(p)G(p)H(p)}$.

Fonction de transfert

Pour un système linéaire, on passe du temporel à Laplace : $F(p) = \dfrac{S(p)}{E(p)}$. Modèles typiques :

• Premier ordre : $F(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ (gain statique $K$, constante de temps $\tau$).
• Second ordre : $F(p) = \dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ (pulsation propre $\omega_0$, amortissement $\xi$).

Trois performances à évaluer

1. Stabilité : le système revient-il à un état d'équilibre ? Critère : tous les pôles de la FTBF ont une partie réelle négative. Marge de phase visée ≥ 45°, marge de gain ≥ 6 dB.
2. Précision : écart statique $\varepsilon_\infty = \lim_{p \to 0} p \cdot \varepsilon(p)$. Un intégrateur (terme en $1/p$) annule l'erreur statique à un échelon.
3. Rapidité : temps de réponse à 5 %. Pour un premier ordre : $t_{r5\%} \approx 3\tau$. Pour un second ordre bien amorti ($\xi \approx 0{,}7$) : $t_{r5\%} \approx 3/\omega_0$.

Correcteur PID

$C(p) = K_p \left(1 + \dfrac{1}{T_i p} + T_d p\right)$

• P (proportionnel) : $K_p$ augmente la rapidité mais peut déstabiliser.
• I (intégral) : annule l'erreur statique, ralentit et déstabilise.
• D (dérivé) : améliore la stabilité, sensible au bruit.

Réglage classique par méthode de Ziegler-Nichols (à partir du gain critique $K_u$ et de la période d'oscillation $T_u$).

Exemple chiffré

Régulation de température d'une étuve modélisée par $G(p) = \dfrac{2}{1 + 60p}$ (K = 2 °C/%, τ = 60 s). En BF avec $C(p)=K_p=4$ et $H=1$ : $\text{FTBF}(p) = \dfrac{8}{9 + 60p} = \dfrac{0{,}89}{1 + 6{,}67p}$. Le temps de réponse passe de 180 s en BO à ≈ 20 s en BF, mais l'erreur statique subsiste (11 %) : ajouter un intégrateur l'annule.

Cas industriel et normes

• Régulation industrielle continue : norme IEC 61131-3 (langages automates) et IEC 61508 (sécurité fonctionnelle).
• Régulateurs communicants (Ethernet/IP, Profinet) intégrés à l'usine 4.0.

À retenir

• BF permet précision et rejet de perturbations, au prix d'un risque d'instabilité.
• PID couvre 90 % des applications industrielles.
• Toujours vérifier stabilité + précision + rapidité avant validation.