Résistance des matériaux

Résistance des matériaux (RDM)

Objet

La RDM étudie les déformations et contraintes dans les structures sous l'effet des efforts extérieurs. Elle permet de dimensionner poutres, arbres, boulons et de vérifier la sécurité selon les Eurocodes.

Contrainte et déformation

• Contrainte normale : $\sigma = F/S$ (Pa = N/m²). Signes : positif en traction, négatif en compression.
• Déformation : $\varepsilon = \Delta L / L_0$ (sans unité).
• Loi de Hooke (domaine élastique) : $\sigma = E \varepsilon$ avec $E$ module d'Young (Pa).

Sollicitations simples

Traction / compression

Barre de section $S$ soumise à $F$ : $\sigma = \frac{F}{S}, \quad \Delta L = \frac{F L_0}{E S}$

Cisaillement

Contrainte de cisaillement : $\tau = F/S$. Loi : $\tau = G \gamma$ avec $G$ module de cisaillement, $G \approx E/2(1+\nu)$ (coefficient de Poisson $\nu \approx 0{,}3$ pour l'acier).

Flexion pure (poutre)

Contrainte normale à la fibre : $\sigma(y) = \dfrac{M_f \cdot y}{I_{Gz}}$

• $M_f$ : moment fléchissant (N·m).
• $I_{Gz}$ : moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre (m⁴).
• $y$ : distance à la fibre neutre.

Moments quadratiques usuels :

• Rectangle bxh : $I_{Gz} = bh^3/12$.
• Cercle plein diamètre d : $I_{Gz} = \pi d^4/64$.

Torsion

Contrainte de cisaillement dans un arbre : $\tau(r) = \dfrac{C_t \cdot r}{I_0}$ avec $I_0 = \pi d^4/32$ pour arbre plein.

Critère de dimensionnement

On doit vérifier : $\sigma_{\max} \leq \sigma_{\text{adm}} = \frac{R_e}{s}$

• $R_e$ : limite d'élasticité (MPa).
• $s$ : coefficient de sécurité (1,15 à 3 selon norme).

Eurocode 3 (acier) : $s = 1{,}15$ pour ELS, $s = 1{,}5$ pour actions permanentes.

Exemple chiffré

Tirant en acier S235 ($R_e = 235\,\text{MPa}$, $E = 210\,\text{GPa}$), diamètre 10 mm, longueur 2 m, soumis à $F = 15\,\text{kN}$.

• Section : $S = \pi \times 5^2 = 78{,}5\,\text{mm}^2$.
• Contrainte : $\sigma = 15\,000/78{,}5 = 191\,\text{MPa}$.
• Vérification : $R_e/s = 235/1{,}5 = 157\,\text{MPa}$ → HORS SÉCURITÉ, il faut passer à $d = 12\,\text{mm}$ ($S = 113\,\text{mm}^2$, $\sigma = 133\,\text{MPa}$ ✓).
• Allongement (avec $d=12$) : $\Delta L = 15\,000 \times 2 / (210 \times 10^9 \times 113 \times 10^{-6}) \approx 1{,}26\,\text{mm}$.

Flambement (compression instable)

Pour un poteau élancé comprimé : $F_c = \dfrac{\pi^2 E I}{L_f^2}$ (Euler). Le poteau se dérobe avant d'atteindre $R_e$.

À retenir

• $\sigma = F/S$ (traction/compression), $\tau = F/S$ (cisaillement).
• $\sigma = E\varepsilon$ (Hooke).
• Flexion : $\sigma = M_f y / I_{Gz}$.
• Critère : $\sigma_{\max} \leq R_e/s$.