Résistance des matériaux : flexion et flambement

Introduction

La résistance des matériaux (RDM) étudie les sollicitations composées ; la flexion et le flambement sont les deux modes de rupture les plus fréquents en construction. Bien les modéliser conditionne le dimensionnement de poutres et de poteaux élancés.

Flexion simple

Un élément soumis à un moment fléchissant $M_f$ dans sa section subit :

• Des contraintes normales longitudinales.
• Une fibre neutre à contrainte nulle.

Formule de Navier-Bernoulli :

$$\sigma = \frac{M_f \cdot y}{I_{Gz}}$$

• $y$ : distance à la fibre neutre.
• $I_{Gz}$ : moment quadratique de la section /axe neutre (mm⁴).

Contrainte maximale (fibre extrême, $y = v$) :

$$\sigma_{max} = \frac{M_f}{W}, \quad W = \frac{I}{v}$$

Moments quadratiques usuels

Section	$I$	$W$ (module de flexion)
Rectangle $b \times h$	$\frac{b h^3}{12}$	$\frac{b h^2}{6}$
Cercle plein diamètre $d$	$\frac{\pi d^4}{64}$	$\frac{\pi d^3}{32}$
Tube (D, d)	$\frac{\pi(D^4-d^4)}{64}$	$\frac{\pi(D^4-d^4)}{32D}$

Flèche

Pour une poutre bi-appuyée de portée $L$, charge répartie $q$ :

$$f_{max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I}$$

Critère de flèche admissible : $f \leq L/300$ (planchers courants), $L/500$ (planchers supportant cloisons fragiles).

Exemple chiffré (flexion)

Poutre bois C24, section 100 × 220 mm, portée 4 m, charge q = 3 kN/m :

• $I = 100 \cdot 220^3 / 12 = 8{,}87 \times 10^7\ \text{mm}^4$.
• $M_{max} = qL^2/8 = 3 \times 16/8 = 6\ \text{kN·m}$.
• $\sigma_{max} = 6 \times 10^6 \cdot 110 / 8{,}87 \times 10^7 = 7{,}4\ \text{MPa}$ < $f_{m,d} = 14\ \text{MPa}$ → OK.

Flambement (Euler)

Un élément long comprimé cède par instabilité géométrique bien avant d'atteindre $R_e$. La charge critique d'Euler :

$$N_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{L_f^2}$$

• $L_f$ : longueur de flambement (dépend des appuis).

Élancement

$$\lambda = \frac{L_f}{i}, \quad i = \sqrt{\frac{I}{A}}$$

• $\lambda$ < 20 : compression pure.
• $\lambda$ > 100 : flambement pur (formule d'Euler).
• Entre les deux : formules de Rankine ou courbes de flambement de l'Eurocode 3.

Longueurs de flambement selon appuis

Configuration	$L_f$
Bi-articulé	$L$
Encastré-libre	$2L$
Encastré-articulé	$0{,}7L$
Bi-encastré	$0{,}5L$

Exemple chiffré (flambement)

Poteau acier tube 100×100×5 mm, bi-articulé, L = 3 m, E = 210 GPa.

• $I = 2{,}44 \times 10^6\ \text{mm}^4$ (tube carré).
• $N_{cr} = \pi^2 \times 210\,000 \times 2{,}44 \times 10^6 / 3000^2 = 562\ \text{kN}$.
• Section réelle $A = 1900\ \text{mm}^2$, $i = 38{,}7$, $\lambda = 77{,}5$.

Vérification Eurocode

• EC3 (acier) : courbes de flambement a, b, c, d avec facteur $\chi$.
• EC5 (bois) : facteur $k_c$.
• EC2 (béton armé) : méthode nominale avec effets du second ordre.