Intégration et accumulation

Intégration et accumulation

1. Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ continue sur $[a,b]$. L'intégrale de $f$ sur $[a,b]$, notée $\int_a^b f(x)\,dx$, représente l'aire algébrique entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses.

• Si $f \geq 0$, $\int_a^b f(x)\,dx$ = aire, en unités d'aire.
• Si $f \leq 0$, l'intégrale est négative.

2. Primitives et théorème fondamental

Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable telle que $F' = f$. Deux primitives diffèrent d'une constante.

Théorème fondamental de l'analyse : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Primitives usuelles à connaître :

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^{x}$	$e^{x}$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

3. Propriétés

• Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$.
• Relation de Chasles : $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$.
• Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f \geq 0$.
• Croissance : $f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$.

4. Valeur moyenne

$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Interprétation : hauteur du rectangle de même aire que sous la courbe.

5. Accumulation et applications physiques

L'intégrale sert à accumuler une grandeur variable :

• Distance parcourue : $d = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
• Travail d'une force variable : $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$.
• Charge électrique : $q = \int i(t)\,dt$.
• Énergie consommée : $E = \int P(t)\,dt$ (en J).
• Quantité de médicament absorbée : $Q = \int c(t)\,dt$ (pharmacocinétique).

6. Techniques de calcul

• Reconnaissance de la dérivée : $\int u'(x) e^{u(x)}\,dx = e^{u(x)} + C$.
• Intégration par parties : $\int u\,v'\,dx = [uv] - \int u'\,v\,dx$.
• Changement de variable (hors programme direct, mais utile en STL avec un poser).

7. Approximation numérique

Utile quand $F$ n'a pas d'expression simple :

• Méthode des rectangles (gauches, droits, du point milieu).
• Méthode des trapèzes : $I \approx \dfrac{b-a}{2n}\big(f(x_0) + 2\sum f(x_i) + f(x_n)\big)$.

À retenir

• Intégrale = aire algébrique = accumulation.
• Théorème fondamental : $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
• Applications physiques omniprésentes (distance, énergie, charge).
• Méthodes numériques quand pas de primitive explicite.